Yilmaz wurde in der Jugend fußballerisch bei Arminia Bielefeld und dem FC Schalke 04 ausgebildet. Über die Stationen SC Verl (ein Regionalliga-Einsatz) und FC Gütersloh (15 Oberliga-Spiele) stieß er zur Saison 2017/18 zum VfB Fichte Bielefeld. Neben dem Fußball überzeugte Berkay Yilmaz in den vergangenen Jahren insbesondere im Futsal beim MCH Sennestadt und brachte diesen mit seinen Paraden zu Titeln und bislang drei mal in Folge zur Teilnahme an der Endrunde der Deutschen Meisterschaft.